all about electricity (indonesia)

Posts tagged ‘probabilitas’

Loss of Load Expectation (LOLE) – Reliability STL Bagian IV

Senang sekali akhirnya ada juga rekan-rekan pembaca yang menanyakan, kapan saya akan menulis lagi lanjutan serial Reliability khususnya mengenai LOLP. Disini saya menggunakan istilah Loss of Load Expectation, masih mengacu pada bukunya pak Billinton. Masih ingat istilah “capacity outage probability (COP)”? COP berhubungan dengan seberapa besar kemungkinan kapasitas pembangkitan daya unit pembangkit hilang akibat kejadian di dalam internal pembangkit tersebut. Capacity outage ini tidak sama dengan “loss of load” atau kehilangan beban dilihat dari sisi konsumen. Indeks risiko sistem (loss of load) dapat dihitung dengan menggabungkan model probabilitas pembangkitan dengan model beban yang sesuai.

Model beban sistem dapat berupa:

  • model berbasis beban puncak harian (daily peak load)

adalah Kurva variasi beban puncak harian dimana beban puncak harian disusun dari yang paling besar ke yang paling kecil. Susunan ini membentuk model pembebanan kumulatif. Indeks risiko ini satuannya hari/periode.

  • model berbasis beban per jam (hourly load)

adalah Kurva durasi beban dimana daerah dibawah kurva merupakan energi yang dibutuhkan selama periode itu. Indeks risiko ini satuannya jam/periode.

Loss of Load Expectation (LOLE)

adalah jumlah hari dalam sebuah periode dimana beban puncak harian melebihi kapasitas pembangkitan yang tersedia. LOLE ini dihitung dengan menurunkannya dari beban puncak harian dihubungkan dengan tabel COP.

LOLE=\sum_{i=1}^{n}P_{i}(C_{i}-L_{i})  hari/periode

dimana

C_{i}=  kapasitas tersedia pada hari ke-i
L_{i}=  ramalan beban puncak pada hari ke-i
P_{i}(C_{i}-L_{i})=  probabilitas hilangnya beban pada hari ke-i. 

Nilai ini diperoleh langsung dari tabel kumulatif COP.

Contoh 1 (sederhana)

Dalam periode 365 hari, data beban puncak sistem 100 MW (unit 2 x 25 MW dan 1 x 50 MW) pada contoh di bagian III yang lalu adalah sebagai berikut,

Beban puncak harian (MW) 57 52 46 41 34
Jumlah kejadian 12 83 107 116 47

 

Dengan menggunakan persamaan di atas, dengan mudah kita peroleh,

LOLE=12.P_{(100-57)}+83.P_{(100-52)}+107.P_{(100-46)}+116.P_{(100-41)}+47.P_{(100-34)}

=12(0.020392)+83(0.020392)+107(0.000792)+116(0.000792)+47(0.000792)

=2.15108   hari/tahun

 

Contoh 2, yang lebih rumit…

Sebuah sistem tenaga listrik mempunyai beberapa pembangkit listrik sebagai berikut,

PLTA 3×40 MW , FOR (force outage rate) =0.005

PLTG 1×50 MW , FOR=0.02

PLTA 1×60 MW , FOR=0.02

Kurva tahunan untuk variasi beban puncak harian berupa garis lurus dari 100% ke 40%.

(a) Hitung loss of load expectation untuk nilai beban puncak berikut.

(i) 150 MW (ii) 160 MW (iii) 170 MW

(iv) 180 MW (v) 190 MW (vi) 200 MW

Jawaban…

Pertama kita tuliskan dahulu semua kemungkinan kapasitas pembangkit yang beroperasi normal dan yang mengalami gangguan:

Jika semua pembangkit normal maka kapasitas yang tersedia di sistem (capacity in) = (3 x 40) + 50 + 60 = 230 MW, dan pembangkit yang mengalami gangguan (capacity out) = 0 MW.

Jika ada sebuah pembangkit 40 MW gangguan, maka capacity out = 40 MW, dan capacity in = (2 x 40) + 50 + 60 = 230 – 40 = 190 MW.

Jika ada sebuah pembangkit 50 MW gangguan, maka capacity out = 50 MW, dan capacity in = (3 x 40) + 60 = 230 – 50 = 180 MW.

Jika ada sebuah pembangkit 60 MW gangguan, maka capacity out = 60 MW, dan capacity in = (3 x 40) + 50 = 230 – 60 = 170 MW.

Jika ada 2 buah pembangkit 40 MW gangguan, maka capacity out = 2 x 40 = 80 MW, dan capacity in= 40 + 50 + 60 = 230 – 80 = 150 MW.

dan seterusnya…

sehingga jika kita susun dalam bentuk tabel akan menjadi seperti ini:

Capacity Out Capacity In
0 230
40 190
50 180
60 170
80 150
90 140
100 130
110 120
120 110
130 100
140 90
150 80
170 60

 

Meski tabel di atas terlihat sederhana, namun setidaknya kita harus berlatih beberapa kali agar semua kemungkinan dapat dipetakan/masuk dalam perhitungan ini. Jika ada satu saja kombinasi kemungkinan kapasitas pembangkit normal/gangguan tidak masuk, maka semua perhitungan sesudahnya menjadi tidak akurat lagi.

Untuk melengkapi tabel CoP saya kutip lagi rumus dari tulisan saya yang lalu sebagai berikut:

Rumus Binomial

 (p + q)^{n}= \sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_{r}p^{r}q^{n-r}

Contoh cara menghitung kombinasi {}_{3}C_{2}

3!/(2!(3-2)!)=(3.2.1)/((2.1)(1))=3

Algoritma Rekursif 

Probabilitas kumulatif bagi unit-unit pembangkit berada dalam keadaan outage / tidak siap sebesar X MW setelah sebuah unit dengan kapasitas C MW dan FOR sebesar U ditambahkan adalah 

P(X) = (1 – U) P’(X) + (U) P’(X – C) 

dimana P’(X) dan P(X) adalah probabilitas kumulatif keadaan dengan kapasitas outage sejumlah X MW sebelum dan sesudah unit ditambahkan.

Keadaan awal : P’(X) = 1 untuk X ≤ 0 , selain itu P’(X) = 0

Langkah untuk Membuat tabel CoP

  • Hitung dulu outage probability untuk unit 3 x 40 MW dengan FOR = 0.005 dengan rumus binomial.

 (p + q)^{n}=\sum_{r=0}^{3}{}_{3}C_{r}(0.005)^{r}(0.995)^{(3-r)}

 ={}_{3}C_{0}(0.005)^{0}(0.995)^{(3-0)}+{}_{3}C_{1}(0.005)^{1}(0.995)^{(3-1)}+{}_{3}C_{2}(0.005)^{2}(0.995)^{(3-2)}+{}_{3}C_{3}(0.005)^{3}(0.995)^{(3-3)}

={}_{3}C_{0}(0.995)^{3}+{}_{3}C_{1}(0.005)(0.995)^{2}+{}_{3}C_{2}(0.005)^{2}(0.995)+{}_{3}C_{3}(0.005)^{3}

= 0,985075+0,014850375+0,000074625+0,000000125=1

Dari sini kita tahu:

  • P(0) = 1
  • P(40) = 0,014850375
  • P(80) = 0,000074625
  • P(120) = 0,000000125

Selanjutnya hitung dengan cara rekursif…

Tambahkan 1 unit 50 MW (FOR=U= 0.02)

P(o) = 1

P(40) = (1-0.02)(0,014850375)+(0.02)(1) = 0.034553368

P(50) = (0.98)(0,000074625)+(0.02)(1) = 0.02007313

P(80) = (0.98)(0,000074625)+(0.02)(0,014850375) = 0.00037014

P(90) = (0.98)(0,000000125)+(0.02)(0,014850375) = 0,00029713

P(120) = (0.98)(0,000000125)+(0.02)(0,000074625) = 0,00000162

P(130) = (0.98)(0)+(0.02)(0,000074625) = 0,00000149

P(170) = (0.98)(0)+(0.02)(0,000000125) = 0,00000000

Perhatikan, banyaknya digit di belakang koma menentukan akurasi perhitungan kita jika dihitung dengan kalkulator tangan. Jika dihitung dengan spreadsheet software kita tidak perlu dipusingkan dengan akurasi, yang penting kita benar dalam memasukkan formula.

Tambahkan 1 unit 60 MW (FOR=U= 0.02)

Caranya sama, cuma mungkin rekan-rekan pembaca ada yang sedang berpikir keras menghubungkan antara rumus dengan angka yang saya tulis. Tenang saja, hal itu wajar, sehingga cara terbaik untuk memahaminya, praktikkan langsung dengan pensil, kertas dan kalkulator atau dimasukkan ke spreadsheet.

Singkat cerita, ini spreadsheet yang saya pakai:

        50
         
0 0,98 0,02 1,000000000 1,00000000
40 0,98 0,02 0,014850375 0,03455337
50 0,98 0,02   0,02007313
80 0,98 0,02 0,000074625 0,00037014
90 0,98 0,02   0,00029713
120 0,98 0,02 0,000000125 0,00000162
130 0,98 0,02   0,00000149
170 0,98 0,02   0,00000000
         
         
        60
         
0 0,98 0,02 1,000000000 1,00000000
40 0,98 0,02 0,034553368 0,05386230
50 0,98 0,02 0,020073133 0,03967167
60 0,98 0,02   0,02036274
80 0,98 0,02 0,000370140 0,00105380
90 0,98 0,02 0,000297130 0,00098225
100 0,98 0,02   0,00069265
110 0,98 0,02   0,00040305
120 0,98 0,02 0,000001615 0,00000899
130 0,98 0,02 0,000001493 0,00000887
140 0,98 0,02   0,00000741
150 0,98 0,02   0,00000595
170 0,98 0,02 0,000000003 0,00000003
180 0,98 0,02   0,00000003
190 0,98 0,02   0,00000003
230 0,98 0,02   0,00000000

 

Yang di atas, ada tulisan 50-nya, tabel yang saya pakai untuk menghitung ketika ditambahkan 1 unit 50 MW. Tabel yang bawah, ada tulisan 60-nya, tabel yang saya pakai untuk menghitung ketika ditambahkan 1 unit 60 MW. Kolom paling kiri, adalah kolom kemungkinan kapasitas unit-unit pembangkit keluar. Kolom kedua dan ketiga dari kiri adalah availability (AF) dan unavailability factor (FOR). Kolom keempat adalah P'(X), dan kolom terakhir adalah P(X).

Langkah berikutnya adalah menentukan segmentasi jumlah hari untuk tiap-tiap beban puncak dalam setahun. Dari soal diketahui, dalam setahun minimal beban puncak adalah 60 MW (40%) dan maksimal 150 MW (100%) dan kurvanya berupa garis lurus. Artinya, jika total kapasitas unit pembangkit yang siap adalah 150 MW atau diatasnya (160 MW, 170MW, 230 MW dsb) maka tidak akan ada kemungkinan loss of load (pemadaman).

Ingat, studi kita disini masih dibatasi menghitung kemungkinan pemadaman hanya dilihat dari kesiapan unit pembangkit. Studi yang lengkap juga harus menghitung faktor-faktor lain, seperti konstrain jaringan transmisi dan distribusi. Lanjutan serial tulisan ini akan membahas pengaruh-pengaruh tsb dalam indeks-indeks kinerja keandalan sistem kelistrikan.

Dari  tabel capacity in-capacity out, kita perlu mencari jumlah hari di titik 140, 130, 120, 110, 100, 90, 80 dan 60 MW. Caranya dengan menggunakan bantuan prinsip kesebangunan geometri segitiga. Perhatikan gambar dibawah, segitiga 150 MW – 60 MW – 40% sebangun dengan segitiga 150 MW – A – B atau (150 MW – A) / B = (150 MW – 60 MW) / 365 hari. Jadi B = (150 – A) x 365 hari / (150 – 60).

Jika A = 140 MW maka B = 10 x 365 hari / 90 = 40,556 hari.

Dengan prinsip kesebangunan segitiga, kita tahu bahwa tiap 10 MW jumlah harinya adalah 40,556 hari dan untuk titik 80 MW (ke 60 MW) jumlah harinya 40,556 x 2 = 81,111 hari.

Lengkap sudah semua data yang dibutuhkan untuk menghitung LOLE. Akhirnya, gabungkan tabel COP dengan jumlah periode hari untuk tiap beban puncak. Dengan mengkalikan tiap cumulative probability dengan jumlah harinya, dan secara total LOLE dalam 1 tahun dijumlahkan, maka diperoleh LOLE.

      Peak Load = 150 MW  
Capacity Out Capacity In Cumulative Probability Period LOLE  
0 230 1,000000      
40 190 0,053862      
50 180 0,039672      
60 170 0,020363      
80 150 0,001054      
90 140 0,000982 40,556 0,039836  
100 130 0,000693 40,556 0,028091  
110 120 0,000403 40,556 0,016346  
120 110 0,000009 40,556 0,000364  
130 100 0,000009 40,556 0,000360  
140 90 0,000007 40,556 0,000300  
150 80 0,000006 40,556 0,000241  
170 60 0,000000 81,111 0,000003  
      365 0,085541 days/year

 

Jika kita lihat hasilnya, cukup masuk akal kan, dengan kapasitas unit pembangkit total 230 MW (dan sangat andal, FOR-nya kecil-kecil) dan beban puncak yang hanya maksimal 150 MW, kemungkinan terjadi loss of load (pemadaman) hanya 0,085 hari atau 2 jam dalam setahun. Kalau pernyataan tersebut dibalik, meskipun kapasitas unit pembangkitan jauh di atas kebutuhan beban puncak dan unit pembangkitnya pun sangat-sangat andal, tetap tidak mungkin sama sekali tidak ada loss of load.

Bagaimana jika beban puncak menjadi lebih tinggi, 160 MW atau 170 MW atau 180 MW dst, seperti pada pertanyaan (ii), (iii) dst ? Anda akan melihat LOLE akan naik. Berapa angkanya? Saya persilahkan anda untuk berlatih menghitungnya 🙂

Iklan

Fenomena Black Swan Ketenagalistrikan

Jika anda sudah pernah membaca buku The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable maka tentu anda akan paham dengan apa yang akan saya tulis. Tulisan-tulisan saya terdahulu yang banyak membicarakan hubungan antara sistem kelistrikan, probabilitas, ekspektasi tingkat layanan dan kinerja dan realitasnya memiliki benang merah dengan fenomena yang disebut sebagai black swan. Buku karangan Nassim Nicholas Taleb, seorang Profesor di bidang Risk Engineering, Ilmu Ketidakpastian (agak aneh ya.., biasanya kan kita belajar ilmu pasti :-))  dan Matematika disamping sebagai Praktisi Keuangan ini mengungkapkan ketidakpastian peristiwa-peristiwa yang memiliki dampak luar biasa, sulit diramalkan, di luar perkiraan normal, yang biasanya sering disebut probabilitasnya sangat kecil untuk terjadi sehingga banyak orang yang tidak menyadari akan dampaknya yang luar biasa jika hal itu terjadi.

Istilah black swan atau angsa hitam mengacu pada istilah yang digunakan orang pada masa yang lalu tentang warna unggas yang bernama angsa. Orang selalu berpikir, warna angsa pasti lah putih. Setelah penemuan angsa berwarna hitam di Australia Barat pada tahun 1697, baru lah disadari, yang nampaknya mustahil pun bisa saja terjadi di masa depan. Taleb mencontohkan peristiwa black swan adalah seperti pesatnya internet, Perang Dunia I, serangan 11 September 2001. Dalam konteks kelistrikan, sebenarnya banyak hal yang (sulit) tidak bisa diprediksi di masa depan meskipun kita berusaha sedapat mungkin memprediksi dengan analisis baik secara deterministik maupun probabilistik. Namun demikian ada juga yang nekat memprediksi hal-hal yang “unpredictable” misal seperti di US tidak akan ada lagi yang akan membangun pembangkit listrik tenaga uap (PLTU) berbahan bakar batu bara di tahun 2010 ini.

Peristiwa black swan dalam kelistrikan yang paling jelas adalah peristiwa blackout. Peristiwa ini adalah peristiwa yang paling tidak diharapkan oleh konsumen di antara harapan-harapan lainnya. Apa yang biasanya diharapkan konsumen listrik? Tentu saja, konsumen biasanya mengharapkan listrik tidak pernah padam, harganya murah (malah kalau bisa gratis), berlimpah sehingga kapan pun kita butuhkan, selalu tersedia setiap saat. Sayangnya, hal2 tsb. sangat naif, bahkan di negara maju dan kaya sekali pun. Masyarakat awam termasuk politisi biasanya sangat terkejut atau heran, jika di suatu hari, tanpa diduga, tahu-tahu listrik mati. 

“Big blackout surprises politicians, but not the power community”

IEEE Spectrum Volume: 40 , Issue: 9 Publication Year: 2003 , Page(s): 9 – 9

Dalam skala yang luas, padamnya listrik secara tidak terduga dinamakan blackout. Jika area yang padam hanya sebagian, kadang disebut sebagai brownout. Padamnya listrik di sebagian wilayah Jakarta 21 Juli 2010 ini, termasuk mengejutkan sebagian orang. Kenapa demikian, hal ini terkait ekspektasi masyarakat setelah TDL (tarif dasar listrik) naik pada bulan Juli 2010 (terakhir TDL naik tahun 2003). Masyarakat mengharapkan (mengira) bahwa listrik kecil (tidak) kemungkinannya padam setelah TDL naik. Bisa diduga, masyarakat banyak yang kecewa. Hal ini tidak perlu terjadi jika kenaikan TDL dipahami sebagai bagian dari konsekuensi vertically integrated electricity market yang kita anut. Dalam sistem yang kita anut, pemerintah berperan mengatur tarif untuk menjamin keberlangsungan (sustainability) penyediaan listrik adalam jangka panjang. Pemerintah memastikan bahwa tarif dan subsidi yang ada dapat menutup biaya operasi dan biaya kapital atau investasi termasuk pembelian listrik dari IPP. Jadi TDL tidak terkait langsung dengan keandalan. TDL terkait dengan keandalan dalam perspektif horison jangka waktu panjang. Untuk kasus ini, peristiwa tersebut belum digolongkan sebagai peristiwa black swan, karena padamnya listrik di area Jakarta sebetulnya tidak lah terlalu mengejutkan mengingat karena kondisi jaringan transmisi di Jakarta sudah terhitung kritis dalam beberapa tahun terakhir (ditandai dengan rendahnya tegangan, kapasitas trafo dan saluran penghantar yang sudah mendekati kapasitas maksimalnya, ditambah permintaan daya yang terus bertambah dari tahun ke tahun). Dampaknya pun tidak terlalu “parah” dibanding peristiwa black swan yang akan saya ceritakan ulang berikut ini.

The 1987 Tokyo Blackout

Pada tanggal 23 Juli 1987, wilayah metropolitan Tokyo mengalami pemadaman listrik besar-besaran yang disebabkan oleh ketidakstabilan tegangan. Saat blackout, lebih dari 8 GW beban hilang, sebagian besar selama sekitar 3.35 jam, yang mempengaruhi 2.800.000 rumah tangga. Pelajaran yang dapat diambil dari pemadaman listrik itu telah mendasari teknik pengendalian tegangan dan daya reaktif, yang saat ini diadopsi oleh jaringan Tokyo Electric Power Company (TEPCO).

Pada tanggal 23 Juli 1987, suhu di Tokyo tercatat 35,9º C. Suhu ini adalah suhu tertinggi kesembilan dalam sejarah. Di pagi hari, TEPCO merevisi perkiraan permintaan listrik, naik dari 38,5 GW ke 39,0 GW dan naik lagi untuk 40,0 GW dari 39,0 GW. Revisi ini mencetak rekor baru untuk TEPCO pada waktu itu, tapi diperkirakan tetap aman dan operasi diperkirakan tetap stabil dengan 40,0 GW ini sesuai permintaan listrik dalam rencana operasional di musim panas.

Selama istirahat makan siang pada hari yang sama, karena permintaan listrik menurun dari 39,1 menjadi 36,5 GW, beberapa kapasitor shunt harus dilepas karena batas atas tegangan bus sisi sekunder atau tersier sisi transformator telah terlampaui (kebanyakan shunt kapasitor dipasang di sisi tersier transformator dalam jaringan TEPCO).

Setelah istirahat makan siang, kapasitor shunt ini diharapkan aktif secara otomatis oleh Pengendali Tegangan dan Daya Reaktif (VQC) seiring meningkatnya permintaan listrik. Namun, karena peningkatan beban lebih cepat daripada tahun-tahun sebelumnya, VQC dan AVR bisa tidak mengikutinya, dan tegangan bus mulai menurun. Akibatnya bisa ditebak, ketika bus-bus 500 kV mulai turun tegangannya sampai di bawah 400 kV, transmisi ini mulai trip, tegangan menjadi tidak terkendali, apalagi ditambah ramping rate yang mencapai 400 MW/menit. Analisis selengkapnya ada di artikelnya pak T. Ohno.

US / Canada Blackout in 2003 (14 August)

Kantor berita CBS memberitakan blackout ini sebagai Biggest Blackout in U.S. Historyuntuk menggambarkan betapa besarnya dampak yang diakibatkan oleh kejadian ini. Investigasinya pun termasuk yang paling serius, sampai-sampai di bentuk gugus tugas yang melibatkan US dan Canada yang melaporkan hasilnya langsung kepada Presiden AS dan Perdana Menteri Kanada. Wiki menggambarkan peristiwa ini sebagai blackout yang paling masif nomor dua sepanjang sejarah. Peristiwa ini menimpa pada 10 juta pelanggan di Ontario, Kanada dan 45 juta pelanggan di 8 negara bagian di Amerika Serikat.

Tanggal 14 Agustus 2003 jam 2 siang PLTU di Eastlake Ohio trip. Satu jam kemudian jam 15.06 transmisi 345 kV di sebelah timur laut Ohio juga trip. Tripnya saluran ini membebani saluran transmisi yang lain. Di area metropolitan New York, tanda pertama bahwa sistem tenaga listrik sedang mengalami gangguan adalah tegangan menurun sampai dengan 80% tegangan nominal dan kembali ke level normal lagi (voltage sag). Pukul 15.32 kelebihan beban pada saluran 345 kV menyebabkan penghantarnya melendut, mengenai pohon lalu trip. Jam 15.41 kelebihan beban pada saluran 345 kV yang lain menyebabkan pemutus (breaker) trip. Jam 15.46 saluran transmisi utama 345 kV milik AEP juga trip. Kejadian ekstrim terjadi 3 detik kemudian, voltage sag mencapai 50% tegangan nominal.

Jam 16.06 saluran transmisi 345 kV di timur laut Ohio trip tapi kemudian masuk lagi jam 16.08. Pengelola pembangkit listrik di Kanada dan AS sisi timur merasakan tegangan berayun tidak terkendali. Jam 16.09 tegangan di kota Cleveland yang sudah turun jadi hilang.  Rangkaian peristiwa yang terjadi secara cepat ini disebut cascading event, jadi sebuah atau beberapa peristiwa merupakan akibat dari kejadian sebelumnya. Jam 16.10 sampai 16.25 pembangkit listrik dan saluran transmisi tegangan tinggi di Ohio, Michigan, New York, New Jersey dan Ontario mati. Beberapa pulau (island operation) sistem terbentuk setelah kejadian ini. Pelajaran yang dapat diambil adalah meskipun beberapa event merupakan kejadian voltage collapse namun penyebab utamanya adalah power swing dynamic yang menyebabkan sistem menjadi tidak stabil.

Europe Blackout (2006)

Pada bulan November 2006, terjadi blackout di kawasan Eropa barat. Blackout ini menyebabkan 10 juta orang tinggal dalam “kegelapan” dan memicu perdebatan mengenai regulasi dan transmisi listrik di Eropa. Apa penyebab awal terjadinya perisitiwa ini ? Ternyata kejadian di berawal di Jerman bagian utara, negeri yang disebut-sebut pelopor teknologi tinggi pun, dapat mengalami “mati lampu”. Perusahaan listrik setempat (E.ON) memadamkan saluran transmisi tegangan tinggi yang melintasi River Ems untuk memberikan kesempatan sebuah kapal pesiar (Norwegian Pearl) untuk lewat di bawah saluran transmisi tsb. 

Akibat pemadaman saluran transmisi ini, saluran di tempat lain menjadi terbebani dan lepas. Selanjutnya menyebabkan reaksi pemadaman berantai di wilayah Jerman barat, Perancis, Belgia, Italia, Spanyol, Austria dan Belanda. Jadi urusan mati listrik, bukan lah monopoli negara berkembang saja, di negara maju pun juga terjadi. Meski Indonesia masuk dalam rekor yang pernah mengalami blackout terparah, hal ini semata-mata karena pulau Jawa, tempat dimana SJB yang mengalami blackout berada, adalah pulau terpadat di dunia  

Kapasitas Pembangkitan Listrik dengan Pendekatan Probabilistik – Reliability STL Bagian II

Teori Probabilitas Dasar

Saya merekomendasikan untuk membaca terlebih dahulu buku Statistik dari Schaum’s Outlines bab 6 agar anda lebih mudah mengikuti pemaparan tentang kapasitas pembangkitan dengan pendekatan probabilistik. Ada yang mengatakan Probabilitas adalah peluang kemunculan suatu kejadian. Sebagian besar Probabilitas suatu kejadian akan bernilai di antara 0 (gagal / failure (f)) dan 1 (berhasil / success (s)) kecuali untuk kasus-kasus yang ekstrim.

Jika p = probabilitas keberhasilan, q = probabilitas kegagalan, s = jumlah keberhasilan, dan f = jumlah kegagalan, maka

p=\frac{s}{s + f}

q=\frac{f}{s + f}

dimana p + q = 1.

Selain itu kita perlu mengingat kembali konsep Kombinasi dan Permutasi. Kenapa? Agar kita dapat menganalisis dengan lebih efisien dibanding jika kita harus menuliskan satu-persatu kemungkinan kejadian-kejadian dalam analisis kita. Kombinasi berhubungan dengan banyaknya cara sebuah item dapat divariasikan/diatur namun tidak melihat urutan pengaturan tsb. Pada Permutasi, urutan pengaturan tsb. dilihat. Pada STL, kita akan lebih banyak membicarakan kombinasi. Kita lebih memperhatikan event-event mana, jika dikombinasikan, yang akan menyebabkan STL gagal, ketimbang urut-urutan event-eventnya (permutasi) yang menyebabkan sistem gagal.

Praktek Probabilitas dalam Enjiniring

Mungkin kita sering membaca tentang cara menghitung probabilitas sisi mana yang muncul pada sebuah koin. Semakin sering percobaannya maka, angka probabilitasnya semakin akurat. Dalam kenyataannya, deduksi data probabilitas kesuksesan atau kegagalan sebuah STL tidak dapat diperoleh melalui percobaan seperti koin tsb. Lantas apa yang dapat dilakukan ? Caranya dapat dengan membagi STL ke dalam beberapa level hirarki. Hirarki yang paling rendah dipilih (pembangkitan) yang data probabilitasnya relatif lebih mudah diperoleh. Data kegagalan untuk sistem secara keseluruhan diperoleh dari teknik reliability assesment.

Aplikasi Distribusi Binomial

Distribusi Probabilitas

Bilangan random mengikuti salah satu dari distribusi

Perilaku acak dari sebuah sistem diwakili oleh satu atau lebih parameter disamping distribusinya, seperti:

  • Rata-rata atau nilai yang diharapkan <– Momen pertama distribusi
  • Varian dan deviasi standar <– Momen kedua distribusi

Distribusi binomial masuk dalam kategori variabel random diskrit. Dengan penerapan distribusi binomial, solusi dari permasalahan reliability yang rumit menjadi lebih mudah. Jika kita menghubungkan probabilitas keberhasilan p dan kegagalan q dengan konsep binomial maka untuk sebuah n kali (jumlah n tetap) percobaan,

distribusi binomialnya = (p + q)^{n}.

Kondisi lain yang harus dipenuhi :

  • p + q = 1 (cuma boleh ada 2 kemungkinan keluaran, berhasil dan gagal / hidup dan mati dsb)
  • nilai p dan q, masing-masing konstan
  • percobaan harus independen

Agar kita dapat mengevaluasi hasil-hasil keluaran dan probabilitasnya, kita perlu menurunkan  (p + q)^{n}  menjadi :



Contoh 1 (p = q = 0.5)

Sebuah koin dilempar 5 kali. Evaluasi probabilitas masing-masing keluaran yang mungkin.

Jumlah Sisi

Formula Binomial

Probabilitas Individu Probabilitas Kumulatif
Angka Burung
0 5 5C0(½)0(½)5 1/32 1/32
1 4 5C1(½)1(½)4 5/32 6/32
2 3 5C2(½)2(½)3 10/32 16/32
3 2 5C3(½)3(½)2 10/32 26/32
4 1 5C4(½)4(½)1 5/32 31/32
5 0 5C5(½)5(½)0 1/32 32/32
     

Σ = 1

 

Contoh cara menghitung kombinasi 5C3

= \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10

Contoh 2 (p ≠ q)

 

Sebuah pembangkit listrik berskala kecil akan dibangun untuk memenuhi kebutuhan beban 10 MW konstan. Designer sistem ini mempertimbangkan 4 kemungkinan konfigurasi unit-unit (mesin) di dalam pembangkit tersebut. Asumsi untuk unit-unit dalam pembangkit tsb. Forced Outage Rate (FOR) = 0.02.

  1. 1 unit x 10 MW
  2. 2 unit x 10 MW
  3. 3 unit x 5 MW
  4. 4 unit x 3\frac{1}{3} MW

Jawaban Contoh 2

Dalam lingkup sederhana, kita mengaplikasikan distribusi binomial pada dua keadaan pembangkit, yaitu :

  1. Pembangkit tidak siap (outage), misal dilambangkan dengan p = FOR = 0.02
  2. Pembangkit siap (available), misal dilambangkan dengan q = 1 – FOR = 0.98

Dalam praktek, dengan perhitungan yang lebih teliti, biasanya dinyatakan dalam EAF (Equivalent Availability Factor) dan EFOR (Equivalent Forced Outage Rate).

Pada rumus binomial :

(p + q)^{n}= \sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_{r}p^{r}q^{n-r}

  • nilai  p = 0.02, q = 0.98,
  • r = 0, 1, … sampai dengan n,
  • n = 1 (kasus 1), n = 2 (kasus 2), n = 3 (kasus 3), n = 4 (kasus 4).

Misal untuk yang (b) / kasus 2,

(p + q)^{n}=\sum_{r=0}^{2}{}_{2}C_{r}(0.02)^{r}(0.98)^{(2-r)}

={}_{2}C_{0}(0.02)^{0}(0.98)^{(2-0)}+{}_{2}C_{1}(0.02)^{1}(0.98)^{(2-1)}+{}_{2}C_{2}(0.02)^{2}(0.98)^{(2-2)}

={}_{2}C_{0}(0.98)^{2}+{}_{2}C_{1}(0.02)(0.98)+{}_{2}C_{2}(0.02)^{2}

=0.9604+0.0392+0.0004

Jika kita masukkan satu persatu nilai2 tsb., maka hasilnya dapat ditabulasikan dalam tabel COP (capacity outage probability) sbb. :

Capacity Outage Probability Tables
           
    Units out Capacity, MW Individual probability
      Out Available  
—– ——————– ————– ————– ————– ——————
(a) 1 x 10 MW unit      
    0 0 10 0.98
    1 10 0 0.02
          1.00
(b) 2 x 10 MW units      
    0 0 20 0.9604
    1 10 10 0.0392
    2 20 0 0.0004
          1.0000
(c) 3 x 5 MW units      
    0 0 15 0.941192
    1 5 10 0.057624
    2 10 5 0.001176
    3 15 0 0.000008
          1.000000
(d) 4 x 3\frac{1}{3} MW units      
    0 0 13\frac{1}{3} 0.92236816
    1 3\frac{1}{3} 10 0.07529536
    2 6\frac{2}{3} 6\frac{2}{3} 0.00230496
    3 10 3\frac{1}{3} 0.00003136
    4 13\frac{1}{3} 0 0.00000016
          1.00000000
           

Bagaimana dengan interpretasi tabel COP ini ?

Pemilik (owner) sistem berbeban 10 MW ini tentu mengharapkan, pembangkit listrik yang dibangun dapat memenuhi kebutuhannya minimal 10 MW dengan keandalan setinggi mungkin. Dengan data probabilitas ini, si desainer sistem memberitahu si owner bahwa alternatif-alternatif tsb. akan mampu mensuplai minimal 10 MW (x ≥ 10 MW) dengan probabilitas :

  1. Alternatif (a) = 0.98
  2. Alternatif (b) = 0.960 + 0.039 = 0.999
  3. Alternatif (c) = 0.941 + 0.057 = 0.998
  4. Alternatif (d) = 0.922 + 0.075 = 0.997

Si owner tentu saja langsung memilih alternatif (b) yang tingkat keandalannya paling tinggi. Namun demikian, paparan dari si desainer belum selesai, investasi awal untuk membangun pembangkit ini disebutkan US$ 1 juta / MW, sehingga acquisition costs yang harus dikeluarkan untuk alternatif :

  1. (a) = US$ 10 juta
  2. (b) = US$ 20 juta
  3. (c) = US$ 15 juta
  4. (d) = US$ 13\frac{1}{3} juta

Si owner kemudian pikir-pikir dan membatalkan keputusannya memilih alternatif (b) dan memilih alternatif (d). Keputusan akhir ini tidak selalu fix, bisa berubah-ubah bergantung pada optimalisasi tujuan (objective) si owner sebagai fungsi dari keandalan dan biaya dengan batasan (constraint) yang mungkin tidak sepenuhnya diketahui si desainer. Disini lah maksud dari trade-off antara reliability vs cost, yang jika diungkapkan secara matematis sebagai optimisasi : optimization, or mathematical programming, refers to choosing the best element from some set of available alternatives.

Dari tabel diatas juga dapat diinterpretasikan berapa MW yang kemungkinan hilang ketika melayani beban 10 MW (expected load loss).

  Kapasitas Unit yang Keluar (MW) Probabilitas Kehilangan Beban untuk Melayani 10 MW (MW) Expected Load Loss (MW)
(a) 1 x 10 MW unit      
  0 0.98 0  –
  10 0.02 10 0.2
        0.2
(b) 2 x 10 MW units      
  0 0.9604 0  –
  10 0.0392 0  –
  20 0.0004 10 0.004
        0.004 MW
(c) 3 x 5 MW units      
  0 0.941192 0  –
  5 0.057624 0  –
  10 0.001176 5 0.00588
  15 0.000008 10 0.00008
        0.00596 MW
(d) 4 x 3\frac{1}{3} MW units      
  0 0.92236816 0  –
  3\frac{1}{3} 0.07529536 0  –
  6\frac{2}{3} 0.00230496 3\frac{1}{3} 0.00768320
  10 0.00003136 6\frac{2}{3} 0.00020907
  13\frac{1}{3} 0.00000016 10 0.00000160
        0.00789387 MW

Misal untuk kasus yang (c) :

  • Ketika unit 0 MW keluar, tidak ada (0 MW) kehilangan beban.
  • Ketika unit 5 MW keluar, beban 10 MW tetap terlayani (tidak ada kehilangan beban).
  • Ketika 2 unit, total 10 MW keluar, ada 5 MW yang tidak terlayani dari 10 MW yang dibutuhkan.
  • Ketika semua unit, total 15 MW keluar, semua (10 MW) beban tidak terlayani.

Kesimpulannya, jika ada 3 unit x 5 MW dengan FOR = 0.02 melayani beban 10 MW, maka dari 10 MW tersebut, 0.00596 MW beban akan tidak terlayani (expected load loss).

Pertanyaan berikutnya adalah, bagaimana jika kita dihadapkan pada kasus besarnya unit pembangkit tidak sama / tidak identik, apa yang harus kita lakukan ?

Kita akan belajar menggunakan teknik recursive untuk membangun tabel COP kita pada tulisan yang akan datang.

Awan Tag

Nulis Apaan Aja Deh

all about electricity (indonesia)